Research Article

Dimensional analysis: Not a recipe!

Analyse dimensionnelle: rien de magique !

¹ Académie des sciences et Académie des technologies, Paris, France
² Senior Fellow Hong Kong Institute for Advanced Study, City University, Tat Chee Avenue, Kowloon Tong, Hong Kong

^* e-mail : Jean.salencon@academie-sciences.fr

Abstract

Dimensional analysis is commonly used to reduce the number of parameters and variables that shall be taken into account in the analysis of a physical problem, by means of the construction of a few non-dimensional products. It is derived from the simple principle that the very concept of a physical law implies that it shall be expressed by mathematical relationships between measures of the involved physical quantities, which must be invariant with respect to any change in the units chosen for measuring these quantities. This principle is expressed mathematically through Vaschy-Buckingham’s theorem, also known as the pi theorem. Inspired from Saint-Guilhem’s papers (Saint-Guilhem R. 1962. Les principes de l’analyse dimensionnelle, invariance des relations vectorielles dans certains groupes d’affinités. Mémorial des sciences mathématiques. Paris: Gauthier-Villars, Vol. 152 Saint-Guilhem R. 1971. Les principes généraux de la similitude physique. Gauthier-Villars: Eyrolles; Saint-Guilhem R. 1985. Sur les fondements de la similitude physique : le théorème de Federman. J Mec Th Appl 4 (3): 337–356; Debongnie JF. 2016. Sur le théorème de Vaschy-Buckingham. [http:// hdl.handle.net/2268/197814] and Barenblatt GI. 1987. Dimensional analysis. New York: Gordon & Breach Sc. Publ) the paper aims at proposing a fairly didactic presentation, where, as strongly advised by Barenblatt, basic concepts such as physical quantities, dimensions, consistent systems of units are first explained. Then, the constitution of dimensionless products is thoroughly developed before specifying the correct number of independent dimensionless products that can be obtained from a given number of physical quantities. Finally, the pi theorem is stated, with a proof in the spirit of Vaschy’s original one. Historical comments evoke Galileo’s analysis, refer to the many contributions by celebrated scholars in the 18^th and 19^th centuries and conclude with more recent mathematical approaches.

Résumé

L’analyse dimensionnelle est couramment utilisée pour réduire, par la construction de quelques produits sans dimensions, le nombre de paramètres et de variables à prendre en compte dans l’analyse d’un problème physique. Elle découle du principe simple que le concept même de loi physique implique qu’elle doit pouvoir être exprimée par des relations mathématiques entre les mesures des quantités physiques impliquées qui soient invariantes par rapport à tout changement dans les unités choisies pour mesurer ces quantités. Ce principe est exprimé mathématiquement par le théorème de Vaschy-Buckingham, également connu sous le nom de théorème des pi. Inspiré des travaux de Saint-Guilhem (Saint-Guilhem R. 1962. Les principes de l’analyse dimensionnelle, invariance des relations vectorielles dans certains groupes d’affinités. Mémorial des sciences mathématiques. Paris: Gauthier-Villars, Vol. 152; Saint-Guilhem R. 1971. Les principes généraux de la similitude physique. Gauthier-Villars: Eyrolles; Saint-Guilhem R. 1985. Sur les fondements de la similitude physique : le théorème de Federman. J Mec Th Appl 4 (3): 337–356; de la contribution de Debongnie JF. 2016. Sur le théorème de Vaschy-Buckingham. [http:// hdl.handle.net/2268/197814] et du célèbre livre de Barenblatt GI. 1987. Dimensional analysis. New York: Gordon & Breach Sc. Publ.) l’article propose une présentation à but didactique, où, comme fortement conseillé par Barenblatt, les concepts de base tels que quantités physiques, dimensions et systèmes cohérents d’unités sont d’abord expliqués. Ensuite, la construction des produits sans dimensions est développée pour aboutir à la détermination du nombre de produits sans dimensions indépendants qui peuvent être obtenus à partir d’un nombre donné de quantités physiques. Enfin, le théorème des pi est énoncé, avec une démonstration dans l’esprit de la preuve originale due à Vaschy. Les commentaires historiques évoquent l’analyse de Galilée, se réfèrent aux nombreuses contributions de chercheurs célèbres aux XVIIIe et XIXe siècles et se terminent par des approches mathématiques plus récentes.